Eintrag in der Universitätsbibliographie der TU Chemnitz
Saak, Jens
Benner, Peter (Prof. Dr.) ; Quintana-Ortí, Enrique S. (Prof. Dr.) ; Sachs, Ekkehard W. (Prof. Dr.) (Gutachter)
Efficient Numerical Solution of Large Scale Algebraic Matrix Equations in PDE Control and Model Order Reduction
Kurzfassung in deutsch
Lyapunov- und Riccati-Matrixgleichungen sind ein wichtiges Werkzeug der mathematischen Systemtheorie. Sie bilden das Kernstück von balancierungsbasierten Modelreduktionsverfahren sowie den Methoden der linear quadratischen Regelung von Differentialgleichungssystemen. Für kleine und moderate Problemgrößen werden diese Matrixgleichungen mit Verfahren gelöst die zumindest kubischen Aufwand haben. Daher verbietet sich die Andwendung dieser Verfahren für große dünn besetzte Probleme. Um das Jahr 2000 wurden Löser für solche großen dünnbesetzten Probleme einggeführt. Diese neuen Techniken beruhen auf der Berechnung von Niedrigrangfaktoren der quadratischen und dicht besetzen Lösungsmatrizen, wodurch sich sowohl der Speicherbedarf als auch der Rechenaufwand dieser Verfahren deutlich reduziert. In dieser Dissertation werden Techniken zur Steigerung der Effizienz von Methoden auf Basis des Verfahrens der alternierenden Richtungen eingeführt und besprochen. Einen weiteren Schwerpunkt bildet die Demnonstration der Verwendbarkeit dieser Verfahren bei industriellen Anwendungen. Die Arbeit gliedert sich in sieben zentrale Kapitel. Nach einer Einleitung werden im zweiten Kapitel die Grundlagen gesammelt, die als Basiswerkzeuge für den Rest der Arbeit benötigt werden. Das darauffolgende Kapitel präsentiert eine Sammlung von Testbeispielen, die das Spektrum von leicht skalierbaren akademischen Testsystemen bis hin zu schlecht konditionierten technischen Anwendungsproblemen aufspannen. Diese erlauben es verschiedene Eigenschaften der Verfahren zu beleuchten. Die Kapitel vier und fünf beschreiben dann die Basisalgorithmen und die Modifiaktionen, die sie auf eine noch größere Klasse von Problemen anwendbarmachen. Die darauffolgenden zwei Kapitel betrachten die Anwendung dieser Löser im Kontext der Modellreduktion und der linear quadratischen Regelung von partiellen Differentialgleichungen. Im verbleibenden Kapitel werden dann ausführliche numerische Tests der in den vorigen Kapiteln eingeführten Löser präsentiert. Die Arbeit wird durch eine Zusammenfassung und einen Anhang komplettiert.
Kurzfassung in englisch
Matrix Lyapunov and Riccati equations are an important tool in mathematical systems theory. They are the key ingredients in balancing based model order reduction techniques and linear quadratic regulator problems. For small and moderately sized problems these equations are solved by techniques with at least cubic complexity which prohibits their usage in large scale applications. Around the year 2000 solvers for large scale problems have been introduced. The basic idea there is to compute a low rank decomposition of the quadratic and dense solution matrix and in turn reduce the memory and computational complexity of the algorithms. In this thesis efficiency enhancing techniques for the low rank alternating directions implicit iteration based solution of large scale matrix equations are introduced and discussed. Also the applicability in the context of real world systems is demonstrated. The thesis is structured in seven central chapters. After the introduction chapter 2 introduces the basic concepts and notations needed as fundamental tools for the remainder of the thesis. The next chapter then introduces a collection of test examples spanning from easily scalable academic test systems to badly conditioned technical applications which are used to demonstrate the features of the solvers. Chapter four and five describe the basic solvers and the modifications taken to make them applicable to an even larger class of problems. The following two chapters treat the application of the solvers in the context of model order reduction and linear quadratic optimal control of PDEs. The final chapter then presents the extensive numerical testing undertaken with the solvers proposed in the prior chapters. Some conclusions and an appendix complete the thesis.
| Universität: | Technische Universität Chemnitz | |
| Institut: | Professur Mathematik in Industrie und Technik | |
| Fakultät: | Fakultät für Mathematik | |
| Dokumentart: | Dissertation | |
| Betreuer: | Benner, Peter (Prof. Dr.) | |
| URL/URN: | http://archiv.tu-chemnitz.de/pub/2009/0164 | |
| Quelle: | 2009. - 190 S. | |
| Freie Schlagwörter (Deutsch): | Balanciertes Abschneiden , LQR für PDEs , Lyapunovgleichung , Riccatigleichung , Modellreduktion | |
| Tag der mündlichen Prüfung | 25.09.2009 |
