Eintrag in der Universitätsbibliographie der TU Chemnitz
Volltext zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:bsz:ch1-qucosa2-769374
Bünger, Alexandra
Stoll, Martin ; Simoncini, Valeria ; Elman, Howard C. (Gutachter)
Low-rank Tensor Methods for PDE-constrained Optimization
Niedrig-Rang Tensor Methoden für Optimierung unter PDGL-Beschränkungen
Kurzfassung in deutsch
Optimierungsaufgaben unter Partiellen Differentialgleichungen (PDGLs) tauchen in verschiedensten Anwendungen der Wissenschaft und Technik auf. Wenn wir ein PDGL Problem formulieren, kann es aufgrund seiner Größe unmöglich werden, das Problem mit konventionellen Methoden zu lösen. Zusätzlich noch eine Optimierung auszuführen birgt zusätzliche Schwierigkeiten. In vielen Fällen können wir das PDGL Problem in einem kompakteren Format formulieren indem wir der zugrundeliegenden Kronecker-Produkt Struktur zwischen Raum- und Zeitdimension Aufmerksamkeit schenken. Wenn die PDGL zusätzlich mit Isogeometrischer Analysis diskretisiert wurde, können wir zusätlich eine Niedrig-Rang Approximation zwischen den einzelnen Raumdimensionen erzeugen. Diese Niedrig-Rang Approximation lässt uns die Systemmatrizen schnell und speicherschonend aufstellen. Das folgende PDGL-Problem lässt sich als Summe aus Kronecker-Produkten beschreiben, welche als eine Niedrig-Rang Tensortrain Formulierung interpretiert werden kann. Diese kann effizient im Niedrig-Rang Format gelöst werden. Wir illustrieren dies mit unterschiedlichen, anspruchsvollen Beispielproblemen.
Kurzfassung in englisch
Optimization problems governed by Partial Differential Equations (PDEs) arise in various applications of science and engineering. If we formulate a discretization of a PDE problem, it may become infeasible to treat the problem with conventional methods due to its size. Solving an optimization problem on top of the forward problem poses additional difficulties. Often, we can formulate the PDE problem in a more compact format by paying attention to the underlying Kronecker product structure between the space and time dimension of the discretization. When the PDE is discretized with Isogeometric Analysis we can additionally formulate a low-rank representation with Kronecker products between its individual spatial dimensions. This low-rank formulation gives rise to a fast and memory efficient assembly for the system matrices. The PDE problem represented as a sum of Kronecker products can then be interpreted as a low-rank tensor train formulation, which can be efficiently solved in a low-rank format. We illustrate this for several challenging PDE-constrained problems.
| Universität: | Technische Universität Chemnitz | |
| Institut: | Professur Wissenschaftliches Rechnen | |
| Fakultät: | Fakultät für Mathematik | |
| Dokumentart: | Dissertation | |
| Betreuer: | Stoll, Martin | |
| SWD-Schlagwörter: | Numerische Mathematik , Wissenschaftliches Rechnen | |
| Freie Schlagwörter (Englisch): | Low-rank , optimization , Isogeometric Analysis , Tensor Train | |
| DDC-Sachgruppe: | Numerische Analysis | |
| Sprache: | englisch | |
| Tag der mündlichen Prüfung | 06.12.2021 |
